【GESP/CSP练习】GESP五级 / CSP-J 题解：luogu-P2440 木材加工

洛谷经典算法题 P2440「木材加工」，是算法竞赛与等级考试中**二分答案（Binary Search on Answer）**思想的极具代表性的入门与进阶典例。本题标准收录于 CCF GESP 五级考纲（二分查找与二分答案核心考点）以及 CSP-J 普及组算法题单。题目核心考查如何将“求满足条件的最大值”这一最优化目标，转化为“给定长度检验是否可行”的判定性问题（Decision Problem），利用切分段数随单段长度递增而严格单调不增的数学性质，在 $\mathcal{O}(n \log (\max L_i))$ 的高效时间复杂度内锁定最优解。题目难度⭐⭐⭐☆☆，洛谷难度评级为普及/提高-。

luogu-P2440 木材加工

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题目描述

木材厂有 $n$ 根原木，现在想把这些木头切割成 $k$ 段长度均为 $l$ 的小段木头（木头有可能有剩余）。

当然，我们希望得到的小段木头越长越好，请求出 $l$ 的最大值。

木头长度的单位是 $\text{cm}$，原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。

例如有两根原木长度分别为 $11$ 和 $21$，要求切割成等长的 $6$ 段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为 $5$。

输入格式

第一行是两个正整数 $n,k$，分别表示原木的数量，需要得到的小段的数量。

接下来 $n$ 行，每行一个正整数 $L_i$，表示一根原木的长度。

输出格式

仅一行，即 $l$ 的最大值。

如果连 $\text{1cm}$ 长的小段都切不出来，输出 0。\n\n### 输入输出样例

输入 #1

13 7
2232
3124
4456

输出 #1

1114

说明/提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le n\le 10^5$，$1\le k\le 10^8$，$1\le L_i\le 10^8(i\in[1,n])$。

题目深度剖析

1. 问题建模与单调性分析

题目给定 $n$ 根原木，长度分别为 $L_1, L_2, \dots, L_n$，要求切出至少 $k$ 段长度均为 $l$ 的小木段，并最大化目标长度 $l$。

若我们设函数 $f(l)$ 表示：当切出的小木段长度为 $l$ 时，所有原木最多能切出的总段数。 由于每根原木只能独立切分（木料无法拼接），长度为 $L_i$ 的原木能切出 $\lfloor \frac{L_i}{l} \rfloor$ 段，因此： $f(l) = \sum_{i=1}^{n} \left\lfloor \frac{L_i}{l} \right\rfloor$

观察函数 $f(l)$ 的数学性质：

1. 单调不增性：随着小木段长度 $l$ 的不断增大，每一项 $\lfloor \frac{L_i}{l} \rfloor$ 均单调不增，其总和 $f(l)$ 必然关于 $l$ 单调递减（或保持不增）。
2. 可行性判定：若某个长度 $l$ 能够切出不少于 $k$ 段（即 $f(l) \ge k$），则对于任意小于 $l$ 的正整数 $l' < l$，必有 $f(l') \ge f(l) \ge k$ 同样成立；反之，若长度 $l$ 无法切出 $k$ 段（$f(l) < k$），则任意大于 $l$ 的长度也绝不可能切出 $k$ 段。

这种在解空间内呈现出绝对“单调分界”的特性，正是**二分答案（Binary Search on Answer）**的标准应用场景！

2. 二分答案搜索区间设计

我们需要确定答案 $l$ 的上下界：

• 下界（Left Bound）：题目要求小木段长度为正整数，因此最小有效长度为 $1$。即初始 $left = 1$。
• 上界（Right Bound）：切出的小木段不可能比所有原木中最长的一根还要长，因此上界可直接取 $right = \max_{1 \le i \le n} (L_i) \le 10^8$。

二分转移流程：

• 取区间中点 $mid = left + \lfloor \frac{right - left}{2} \rfloor$；
• 遍历所有原木，计算 $count = \sum_{i=1}^n \lfloor \frac{L_i}{mid} \rfloor$；
• 若 $count \ge k$：说明当前长度 $mid$ 是合法的，但可能还存在更长的合法长度，我们记录当前最优答案 $ans = mid$，并尝试向右半区间探索更优解（令 $left = mid + 1$）；
• 若 $count < k$：说明当前长度 $mid$ 偏大，导致切出的段数不足 $k$，该长度不可行，向左半区间压缩查找范围（令 $right = mid - 1$）。

当 $left > right$ 时，二分终止，$ans$ 即为所求的 $l$ 的最大可能值。

3. 边界特判与整型溢出避坑

在 GESP 五级和 CSP-J 考场上，该题有两大极为致命的失分点：

1. 总段数累加溢出 32 位整型（“不开 long long 见祖宗”）：

   • 题目中 $n \le 10^5$，$L_i \le 10^8$；
   • 在二分初期，当 $mid$ 较小（例如 $mid = 1$）时，每根原木切出的段数可达 $10^8$；
   • $n$ 根原木的总段数理论最大值可达 $n \times L_i = 10^5 \times 10^8 = 10^{13}$；
   • 32 位有符号整型 int 的最大上限约为 $2.14 \times 10^9$。若使用 int 存储累加变量 count，将发生严重溢出导致判定错误！
   • 应对策略：累加段数 count、原木总长 total_len 以及目标需求 $k$ 必须使用 64 位整型 long long。同时在 check 函数中，一旦 count >= k 即可提前 return true 实现贪心剪枝。

2. 全长不足 $k$ 时的 $0$ 特判：

   • 题目明确要求：“如果连 $1\text{cm}$ 长的小段都切不出来，输出 0”；
   • 若原木总长之和 $\sum L_i < k$，即便每段只取 $1\text{cm}$ 也无法满足要求；
   • 我们可以在二分前直接统计总长 $\sum L_i$，若小于 $k$ 直接输出 $0$ 退出程序；即使不预先特判，若我们将初始 $ans = 0$，当 $mid = 1$ 判定失败时，二分区间会直接收缩至 $right = 0$，最终输出 $ans = 0$，逻辑天然闭环。

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：
  • 二分区间长度为 $\max L_i \le 10^8$；
  • 二分查找循环次数为 $\lceil \log_2(10^8) \rceil \approx 27$ 次；
  • 每次判定需要遍历一次长度为 $n$ 的数组，耗时 $\mathcal{O}(n)$，且配合 count >= k 提前退出常数极小；
  • 总体时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log(\max L_i))$。代入 $n = 10^5$，总基本操作次数约 $2.7 \times 10^6$ 次，在 $1.0\text{s}$ 时限内仅耗时约 $10\text{ms}$，极其充裕。
• 空间复杂度：
  • 仅需一个全局静态数组存储 $n$ 根原木长度，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$，占用内存约 $400\text{KB}$，远低于题目限制。

完整参考代码 (C++11)

1/**
2 * Problem: luogu-P2440 木材加工
3 * Algorithm: 二分答案 (Binary Search on Answer) / 单调性判定
4 * Standard: C++11 (CCF GESP 官方大纲规范)
5 * Author: OneCoder
6 */
7
8#include <iostream>
9#include <algorithm>
10
11using namespace std;
12
13// 数据规模：n <= 10^5, 原木长度 L_i <= 10^8
14const int MAXN = 100005;
15int a[MAXN];
16
17// check 函数：检验是否能够切割出至少 k 段长度为 len 的小木头
18// 单调性核心：len 越小，切出的小段越多；len 越大，切出的小段越少
19bool check(int len, int n, long long k) {
20    long long count = 0;
21    for (int i = 0; i < n; ++i) {
22        // 每根原木长度为 a[i]，最多可切出 a[i] / len 段长度为 len 的小木头
23        count += a[i] / len;
24        // 剪枝：一旦累计段数达到或超过目标 k，说明该长度可行，直接返回 true
25        if (count >= k) {
26            return true;
27        }
28    }
29    return count >= k;
30}
31
32int main() {
33    int n;
34    long long k;
35    cin >> n >> k;
36
37    int max_len = 0;
38    long long total_len = 0;
39    for (int i = 0; i < n; ++i) {
40        cin >> a[i];
41        if (a[i] > max_len) {
42            max_len = a[i];
43        }
44        total_len += a[i];
45    }
46
47    // 边界特判：若所有原木总长度累加仍小于目标段数 k，
48    // 则即便每段长度取最小正整数 1cm，也无法切出 k 段，直接输出 0
49    if (total_len < k) {
50        cout << 0 << endl;
51        return 0;
52    }
53
54    // 二分答案：小段长度 l 的取值范围为 [1, max_len]
55    int left = 1;
56    int right = max_len;
57    int ans = 0;
58
59    while (left <= right) {
60        int mid = left + (right - left) / 2;
61        // 判定当前长度 mid 是否满足要求
62        if (check(mid, n, k)) {
63            // 如果长度为 mid 可行，记录该可行解，并尝试寻找更长的小段（向右半区间搜索）
64            ans = mid;
65            left = mid + 1;
66        } else {
67            // 如果长度为 mid 无法切出 k 段，说明太长了，向左半区间压缩
68            right = mid - 1;
69        }
70    }
71
72    // 输出所能得到的小段木头的最大长度 l
73    cout << ans << endl;
74
75    return 0;
76}