【勾股定理与数列平方递推】GESP二级题解：luogu-B4575 [GESP202609 二级] 直角三角形

CCF GESP 2026年9月认证（第十五次认证）C++ 二级试题，洛谷 B4575。本题严格遵循 CCF GESP 官方大纲规范，重点考察勾股定理与数列平方递推。题目逻辑严密，模型典型，是深入理解与掌握信奥核心考点的经典范例。

B4575 [luogu-B4575 [GESP202609 二级] 直角三角形]

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题目要求

题目描述

小双刚学会勾股定理，得知直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

小双创造了直角三角形数列：数列前两项由小双指定，从第三项开始，数列中的每个数字的平方等于前两项的平方和。

例如，第一项是 3.0，第二项是 4.0，则第三项是 $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0$。

小双给定了数列的前两项，并给定一个数列上限，想让你算算数列的第几项会超过小双给定的数列上限？

输入格式

输入三行，第一行一个浮点数是数列第一项，第二行一个浮点数是数列第二项，第三行一个浮点数表示数列上限。

输出格式

输出一个正整数，表示第几项开始会超过小双给定的数列上限。

输入输出样例

样例输入 #1

3.0
4.0
10.0

样例输出 #1

6

说明/提示

数列依次为：$3.0, 4.0, 5.0, \approx 6.403, \approx 8.124, \approx 10.344$。第 6 项超过 10.0。 输入均为不超过 10000 的正数，第一项小于第二项。

题目分析与解题思路

1. 数列递推模型：定义 $a_1, a_2$ 为初值。对于 $i \ge 3$，$a_i = \sqrt{a_{i-1}^2 + a_{i-2}^2}$，即 $a_i^2 = a_{i-1}^2 + a_{i-2}^2$。这项增长本质上是斐波那契数列在平方维度的映射，增长速度非常迅猛。
2. 终止条件与初始边界：题目保证 $a_1 < a_2$。若 $a_1 > \text{limit}$，则第 1 项即超过；若 $a_2 > \text{limit}$，第 2 项超过；否则使用 while 循环不断计算下一项直至超过上限，记录项数并输出。
3. C++ 标准库函数：使用 <cmath> 中的 std::sqrt() 函数，完全符合 C++11 标准。

完整参考代码 (C++11)

/**
 * Problem: luogu-B4575
 * Standard: C++11 (CCF GESP 官方大纲规范)
 * Author: OneCoder
 */

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main() {
    // 快速输入输出
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    double a, b, limit;
    if (!(cin >> a >> b >> limit)) {
        return 0;
    }

    // 特判前两项已超出上限的情况
    if (a > limit) {
        cout << 1 << "\n";
        return 0;
    }
    if (b > limit) {
        cout << 2 << "\n";
        return 0;
    }

    int step = 2;
    double prev2 = a; // 前两项中的较早一项 a_{i-2}
    double prev1 = b; // 前一项 a_{i-1}

    // 循环模拟生成后续项
    while (prev1 <= limit) {
        double next_val = sqrt(prev2 * prev2 + prev1 * prev1);
        step++;
        if (next_val > limit) {
            cout << step << "\n";
            return 0;
        }
        prev2 = prev1;
        prev1 = next_val;
    }

    cout << step << "\n";
    return 0;
}

考点归纳与备考建议

1. 考纲匹配度：严格对标 CCF GESP 二级考纲重点，绝不超纲，注重基础算法与逻辑建模规范；
2. 规范防范：所有代码严格以 C++11 标准编译运行，针对整数溢出、边界判断、空状态均做了详尽严整的防御性处理。